Kurt Gödel fue un lógico y matématico muy importante nacido en el entonces Imperio Austro-Húngaro en 1906. Particularmente interesado en los fundamentos y huesos de las matemáticas. Realizó su doctorado en la Universidad de Vienna. Es famosísimo por sus Teoremas de la Incompletitud.
Más tarde en su vida se convirtió en profesor de Princeton, en Estados Unidos, donde daba caminatas al lado del célebre Albert Einstein. Lamentablemente murió en momentos de baja estabilidad mental, particularmente con el miedo de ser envenenado, por lo que exigía que su comida la hiciera su esposa Adele. Pero su mujer fue hospitalizada y no podía prepararle la comida, así que murió de malnutrición.
En otro tono, a pesar de esta tragedia, Gödel nos dejó esta gran contribución: un universo.
En el medio de nuestro estudio de grandes cardinales, tuvimos que asegurar un hogar para todos ellos, o al menos un universo de cual hablar. Y recurrimos al unverso de von Neumann. También, requerimos de que en algunos cardinales, V=L, con L el universo construible de Gödel. Pues bien, por no dejarlo corto, se hace necesario aclarar de que se estaba hablando.
A primer vistazo, L es definido similar a V. Hay recursión transfinita. Pero la diferencia acá es que hay que tener conceptos lógicos clave.
Se define la operación Def en la siguiente manera (está en inglés).
Es decir, que lleva a un conjunto X al conjunto que tiene como elementos aquellas cosas que pueden hacer parte de una fórmula basada en el lenguaje de la teoría de conjuntos dentro de X.
Se inicia definiendo:
Naturalmente:
Y para ordinales límite α, casi igual al universo de von Neumann. Es la unión de todos los Li tal que i<α.
Y ahora, muy paralelamente, define todo el universo L de la siguiente manera, indexando sobre la clase de todos los ordinales:
Viene a cuente mencionar este universo, en nuestro blog de grandes cardinales, porque hay unos grandes cardinales que necesitan del llamado Axioma de Constructibilidad, que en llanas palabras enuncia que V=L.
Kurt Gödel | American mathematician | Britannica
Gödel, Kurt (1938). «The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. National Academy of Sciences. 24 (12): 556–557. doi:10.1073/pnas.24.12.556. JSTOR 87239. PMC 1077160. PMID 16577857.
Mengenlehre 