Introducción a Los Cardinales de Mahlo

Otra especie de gran cardinal son los de Mahlo. Fueron propuestos por el matemático alemán Paul Mahlo en tres artículos entre 1911 y 1913 que dejaremos referenciados al final de esta entrada. Una vez más, estos cardinales, al ser grandes cardinales, no se pueden demostrar que existen solo con ZFC.

Hay cardinales Mahlo débiles, si son débilmente inaccesibles, o sea que son cardinales límite y son regulares. Ya tenemos definido que es un cardinal regular en este sitio. Además tienen que cumplirse que {μ < κ: μ es débilmente inaccesible}, con κ el cardinal de Mahlo, es un conjunto estacionario. Si estas cosas se cumplen, tenemos al frente un cardinal Mahlo débil.

Para los cardinales de Mahlo fuertes, tienen la propiedad de ser fuertemente inaccesibles pero además necesitamos, de manera análoga a los débiles, que el conjunto de sus antecesores fuertemente inaccesibles sea estacionario. Esto es que {μ < κ: μ es fuertemente inaccesible}, con κ el cardinal Mahlo, sea un conjunto estacionario.

Sobre la propiedad de ser estacionario, encontrarás la definición en la sección de definiciones.

Una cosa a aclarar, es que en la literatura moderna, cuando se habla de un cardinal de Mahlo, suelen estar hablando de los fuertes y no de los débiles.

Con esto, podemos seguir en este sitio a seguir investigando estos cardinales, en otros artículos.

Acá van los tres artículos donde por primera vez fueron propuestos:

• Mahlo, Paul (1911), «Über lineare transfinite Mengen», Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse, 63: 187–225, JFM 42.0090.02
• Mahlo, Paul (1912), «Zur Theorie und Anwendung der ρ₀-Zahlen», Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse, 64: 108–112, JFM 43.0113.01
• Mahlo, Paul (1913), «Zur Theorie und Anwendung der ρ₀-Zahlen II», Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse, 65: 268–282, JFM 44.0092.02